안녕하세요..^^* 고등학교때는 극한을 하나의 변수에 대해서만 배우는데 대학교에 들어오면 변수가 2개인 함수의 극한을 배우게 됩니다. 함수의 극한은 x축의 왼쪽에서 오른쪽으로 두 가지 방향인 일변수가 있지만 이제는 아주 다양한 실제로 무한대인 방향으로 가는 것이죠. 그러니까 수렴을 증명하기 위해서는 e반경의 볼을 잡고 그 볼이 들어가기만 하면 수렴한다는 정의로 하고 있습니다. 문제 풀이에서는 이런 e-d법으로도 풀어보고 path 즉 경로를 정해서 가는 방법으로도 풀어 보도록 하겠습니다. 가장 간단한 문제부터 풀어 볼께요. d를 저 반경의 볼로 잡으면 저 안에 있는 델타를 입실론반경으로 품기만 하면 됩니다. 델타를 몇 입실론으로 잡으면 저 안에 풍기겠죠? 그러므로 증명이 끝나게 되는 겁니다. 이번에는 극좌..
안녕하세요..^^* 오늘은 수업 시간에 배운 여러가지 부등식에 대해서 소개해 드리고자 합니다. 코쉬 부등식과 젠센 부등식 그리고 홀더 부등식인데요. 뒤에 민코스키와 체비세프는 배웠는데 시간 관계상 나중에 하도록 하겠습니다. 그럼 지금부터 시작 해 보도록 하겠습니다. 코시 부등식입니다. 증명은 간단합니다. (c1f(x)+c2g(x))^2을 a에서 b가지 적분 한 것을 판별식 D를 써서 0보다 크다는 것만 보여주면 저 식이 나오게 됩니다. 이번엔 젠센의 부등식을 증명해 볼 차례인데요. 컨벡스니까 두번 미분한것이 0보다 크게 되고 저것을 테일러 2차전개까지 해 봅니다. 그 뒤에 값은 거의 영향을 못미칠 정도로 작기 때문에 2차까지만 주로 전개를 하는 겁니다. 물론 나노 수준의 아주 작은 수준까지는 더 해야 되..
안녕하세요..^^* 지난 시간에 이어서 이번 시간에는 이상적분 문제풀이 2탄을 해 보도록 하겠습니다. 지난번에는 제1종 특이적분을 다루어 보았는데요. 오늘은 그것에 이어서 제 2종 특이적분 문제까지 다루어 볼까 합니다. 이번에는 적분판정법으로 한번 해 볼건데요. 저 급수가 적분한 값보다 작습니다. 물론 조건은 decreasing이고 0보다 클 때라고 말할 수 있겠죠. 값은 정확히 모르고 발산하는지 수렴하는지만 판단할 수 있어요. 저런 수열 또한 금방 알아 낼 수 있답니다. 이번에는 적분식이 좀 복잡하네요. 저 적분은 생각보다 쉽지 않아서 발산 수렴값을 찾을려면 비고판정을 써야 되는데요. e^-x를 테일러 전개를 해서 x^n/n!보다 크다는 것만 알아서 저것의 역수를 생각해 낸다면 생각보다 거저먹는 문제가..
안녕하세요..^^* 한시간 30분뒤면 저의 기말고사 시험입니다. 손으로 쓰는건 도저히 힘들어서 이제 타이핑을 치게 되네요.. 약간의 간략한 설명과 함께 문제 위주로 빠르게 풀겠습니다.ㅎㅎ 좀 개념이 없더라도 양해를 부탁드리고 개념은 다른 사이트에서 보시길 바랍니다.ㅎㅎ 첫번째 문제. 이상적분이란 일단 t로 치환한 다음에 그것을 리미트 씌워서 보내는거에요.. 1종 2종이 있는데 1종은 이렇게 적분범위가 무한대로 가는 것 그리고 2종은 어느 구간에서 그값이 발산하는 겁니다. 2번문제도 그냥 단순한 적분문제에 리미트만 씌워 주는거에요..ㅎㅎ 이건 일반화 시킨 거구요. x^-p를 적분했을때 p값에 따라서 발산하는지 수렴하는지 알려 주는 겁니다. 비교 판정법으로 문제풀이 하는거에요. 0보다 큰 f보다 더 큰 g가..
ㅎㅎ 안녕하하세요..^^* 이제 저는 10시 30이면 시험을 치러 갑니다. 내일 예약포스팅을 해 놓고 하는 것이죠..^^* 그럼 지금부터 알찬 포스팅을 한번 시작해 보도록 하겠습니다. ex5.53은 topological sign curve가 path connected가 아님을 보이는 건데요. 일단 lemma를 하나 증명해야 합니다. A의 원소와 B의 원소가 connected가 될려면 무조건 그것을 포함하는 집합의 크기가 2보다 커야 된다는 말인데요. 왜냐하면 사인함수가 -1에서 1사이에서 진동하기 때문이죠. 그러므로 만약 2보다 작다면 포함이 안되는 어떤 원소가 있을 것이고 그것을 U와 V인 집합으로 잡았을 때는 disconnected가 되므로 모순이라는 뜻입니다. 그 다음에는 path connected..
안녕하세요. 오늘은 저번 시간에 이어서 4단원 한문제 더하고 5단원에 connected로 넘어 가겠습니다. ㅎㅎ 이것만 쓰고 내일 아침에 조금 일찍 일어나서 다시 공부를 해야 되겠습니다. 정의 위주보다는 제 기말을 위한 정리이기 때문에 좀 두서없이 족보문제만 썼다는 점 양해해주시길 바라며 그럼 지금부터 시작하겠습니다. 하우스도르프 공간에 있는 수열은 두 점으로 수렴하지 못한다는 것인데요. 하우스도르프 공간의 정의는 두 점을 잡았을 때 그것을 품는 disjoint한 open set이 존재하면 그것을 하우스도르프 공간이라고 말하는데요. 만약에 두 점으로 수렴한다고 쳐 보면 Xn이 disjoint한 두개의 open set에 들어가서 이것이 모순이 됩니다. 그 다음에는 connected에 대해서 보도록 하죠. ..
안녕하세요..^^* 내일은 위상시험을 치는 날입니다. 물론 기말고사이죠. 공부를 안해서 그런지 다는 모르겠고 하기 싫어서 이렇게 족보라도 정리를 합니다. 그럼 오늘도 한번 족보 정리한 것을 여러분들께 소개를 해야 되겠죠??ㅎㅎ 자 첫번째 정리부터 갑니다. 모든 second countable space는 separable이다. 저는 원서로 배워서 한글뜻은 잘 모르니 이해해 주세요. 그럼 second countable이란 것은 공간이 셀 수 있는 basis 즉 기저를 가질때를 의미하고 separable이란 것은 바로 dense subset이 존재한다는 것이죠. 제일 아래쪽에 있는 A클로저가 X가 되는 것 말이에요. 그럼 그럼 countable basis를 가진다고 했으니까 그 중에 하나인 것들을 다 뽑아 옵..
ㅎㅎ 드디어 마지막을 향해 가고 있습니다. 개념정리가 아니라 족보만 정리했기 때문이죠.ㅠㅠ 슬프네요. 공부를 안했으니 그거라도 해야 되겠지요??ㅎㅎ 그리고 연속부분부터는 잘 몰라서 띵가먹었어요.ㅠㅠ 이궁 죄송죄송..ㅋㅋ 어쨋던 지금부터 시작해 보도록 하겠습니다. Cauchy 수열은 중요한 수열이죠 아주 큰 N보다 큰 n에 대해서 그 거리가 입실론보다 작은 것을 말하는데요. 즉 수렴값은 모르고 저 둘 차이의 길이만 알때를 유용하게 쓰이죠. Complete라는 말은 완비공간 즉 코쉬 수열이 한점으로 수렴을 한다면 Complete라 합니다. 이제 contraction lemma를 할건데요. Contraction이란 그 두점 사이의 거리의 1보다 작은 a배가 함수값을 걸어놓은 거리보다 크거나 같은 것을 말하는데..
저번 시간에 이어서 계속 족보정리를 해 보도록 하겠습니다. 이궁 결국 개념은 하나두 못보고 족보만 보네요. 오늘 10시 30분에 시험인데 공부가 안되서 이짓거리를 하고 있답니다. 여러분들도 열심히 따라오도록 하세요. 칸토어의 nested 정리인데요. 여기서 네스티드란 Sn+1이 Sn의 subset 즉 부분집합인 점점 줄어다는 것을 말하는데요. 이렇게 closed set을 무한히 교집합을 해도 공집합이 안된다는 것을 보일겁니다. nested이기 때문에 an은 계속 증가하고 bn은 감소하지만 an의 어떤 원소도 bn보다 클수가 없습니다. 그래서 bounded가 되는 것이죠. 그렇게 되어서 저것을 교집합을 해도 어떤 구간이 나오고 최소로 작은 구간은 한 점이 되겠죠.. 볼자노 와이어스트라스 정리인데요. 이것은..
안녕하세요..^^* 내일 드디어 위상수학 중간고사 시험입니다. 공부를 너무 안해서 멘붕이에요..ㅠㅠ 블로그는 써야 되겠구.. 그래서.. 저의 중간고사를 필기를 한 것을 적고 정리를 하려고 해요. 물론 여러분들께 설명하는 것도 있지만 제 공부가 우선이라서 글자도 잘 못알아 볼 수도 있어요..ㅠㅠ 타이핑 치면서 블로그도 하고 일석이조의 효과를 누리는 것이죠. 그럼 지금부터 시작하겠습니다. 첫번째는 유리수의 dense 즉 밀집도에 대해서 말하는 건데요. 임의의 두 실수사이에는 항상 유리수가 존재한다는 것이죠. 증명은 어떤 q분의 1이 b-a보다 작게 되도록 잡으면 a와 b사이에는 q분에 p-1 이라는 유리수가 항상 존재한다는 뜻이죠...^^* 두번째 문제는 실수집합의 모든 부분집합이 닫혀 있다면 그 집합은 그..
