위상수학 족보정리 마지막

  ㅎㅎ 드디어 마지막을 향해 가고 있습니다. 개념정리가 아니라 족보만 정리했기 때문이죠.ㅠㅠ 슬프네요. 공부를 안했으니 그거라도 해야 되겠지요??ㅎㅎ 그리고 연속부분부터는 잘 몰라서 띵가먹었어요.ㅠㅠ 이궁 죄송죄송..ㅋㅋ 어쨋던 지금부터 시작해 보도록 하겠습니다.

Cauchy 수열은 중요한 수열이죠 아주 큰 N보다 큰 n에 대해서 그 거리가 입실론보다 작은 것을 말하는데요. 즉 수렴값은 모르고 저 둘 차이의 길이만 알때를 유용하게 쓰이죠. Complete라는 말은 완비공간 즉 코쉬 수열이 한점으로 수렴을 한다면 Complete라 합니다.

  

  이제 contraction lemma를 할건데요. Contraction이란 그 두점 사이의 거리의 1보다 작은 a배가 함수값을 걸어놓은 거리보다 크거나 같은 것을 말하는데요. 저 lemma는 완비 공간에서 저 contractive function은 f(x)=x를 만족하는 함수가 존재한다는 건데요. 증명은 compelte니까 xn이 x로 수렴하겠죠. 그래서 저렇게 f(xn) 을 xn+1로 잡는다면 즉 x2=f(x1)이런식으로 말이죠. 그럼 저 xn+1이나 xn이나 무한히 보내면 같아지게 되는것이죠.

  그럼 존재성은 증명을 했으니 이제 하나만 존재한다는 것을 보일 차례인데요. y가 또다른 고정된 점이라면 둘 사이의 거리가 다르다면 contractive function의 정의에 의해서 아래서 위로 올라간 2번째중처럼 되겠죠? 그럼 x와 y는 같아 지는 거가 되겠죠?

  이번에 진짜 topology의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 앞에 open set에 대해서 다 했자나요. X와 공집합은 topology에 들어가고 어떠한 counted collection of open set의 합집합과 유한한 것들의 교집합 또한 topology에 들어 간다는 것입니다. 그것을 바로 topology라 부르죠.

  이번엔 finite complement topology가 여러점으로 수렴한다는 것인데요. X-O가 유한개의 집합을 가진 토폴로지를 바로 finite complement topology라고 합니다. 일단 증명은 간단해요. 어떤 open set을 잡는다면 아무리 작게 잡아도 R-O는 finite이므로 당연히 O는 infinite가 되겠죠. 그래서 O에 들어가는 xn은 한개가 아니겠죠?

  이렇게 저의 중간고사 대비는 끝났습니다. 시험 목표는 다 맞춘다는게 아니라 정말 중요한 것은 꼭 맞춘다는 것인데요. 이래서 작년 기출문제는 저에게 참 쏠쏠한 문제인 것 같습니다. 물론 족보 자체가 의미가 없는 대수 교수님 같은 경우는.. 이를 어찌해야 하는지..ㅠㅠ 어쨋던 한번 정도 더 훑어보고 10시 30에 있을 중간고사를 잘 치고 오겠습니다.^^*