위상 수학 중간고사 족보 정리

  안녕하세요..^^* 내일 드디어 위상수학 중간고사 시험입니다. 공부를 너무 안해서 멘붕이에요..ㅠㅠ 블로그는 써야 되겠구.. 그래서.. 저의 중간고사를 필기를 한 것을 적고 정리를 하려고 해요. 물론 여러분들께 설명하는 것도 있지만 제 공부가 우선이라서 글자도 잘 못알아 볼 수도 있어요..ㅠㅠ 타이핑 치면서 블로그도 하고 일석이조의 효과를 누리는 것이죠. 그럼 지금부터 시작하겠습니다.

 

 

  첫번째는 유리수의 dense 즉 밀집도에 대해서 말하는 건데요. 임의의 두 실수사이에는 항상 유리수가 존재한다는 것이죠. 증명은 어떤 q분의 1이 b-a보다 작게 되도록 잡으면 a와 b사이에는 q분에 p-1 이라는 유리수가 항상 존재한다는 뜻이죠...^^*

 

 

  두번째 문제는 실수집합의 모든 부분집합이 닫혀 있다면 그 집합은 그것의 모든 리미트 포인트를 가지고 있다는 건데요. 필요충분조건이니 충분조건부터 해 보게습니다. 만약 x가 a에들어있지 않다면 a는 닫혀 있으므로 close에 정의에 의해서 R-A는 오픈이겠죠. 그리고 R-A와 A는 공집합이니 x는 A에 들어 있습니다. 그럼 x가 A에 안들어 있다는 것에 모순이므로 limit point가 안들어 있다구 했으므로 모순이니까 들어 있겠죠. 반대방향은 close의 정의에 의해서 R-A가 오픈인 것만 보여주면 되겠죠. 그래서 또 x가 A의 리미트 포인트가 아니라고 한다면 어떠한 open set이 존재해서 A와 교집합이 공집합이 됩니다. 그러한 것이 R-A에 있으므로 R-A는 오픈이죠. 그래서 A는 closed가 됩니다.

 

 

 

 

  모든 A의 원소인 y에 대해서 x와 y의 거리가 0보다 큰데 그 집합과의 거리는 0인 것을 보여주는 것입니다.

 

 

  이번에는 x가 A의 limit point인 필요충분 조건은 어떠한 수열이 존재해서 distinct point를 가진 수열이 x로 수렴한다는 것인데요. 귀납적으로 x1이 반경이 1인 볼에 들어가고 A-{x}의 교집합이 아닌 것을 잡습니다. x2는 반경을 2분의 1로 그런식으로 계속합니다.

 

 

  그러면 아주 반경을 좁게 한 볼에도 들어가므로 한점으로 수렴하게 되는 것입니다. 반대의 경우에는 어떠한 오픈셋을 잡으면 반경이 입실론인 볼에 오픈셋이 들어가게 됩니다. 그래서 충분히 큰 n에 대해서 xn과 x의 거리가 입실론만큼 작아지는 것을 찾았는데 그 셋과 A-{x}가 공집합이 아니므로 limit point가 됩니다.

 

 

  어렵죠?? 개념은 하나도 없고 그냥 문제풀이만 생뚱맞게 해 놓았네요.. 그래도 저의 중간고사를 위한 것이니 좀 양해를 부탁드립니다.ㅎㅎ 오늘은 이만 여기서 그만쓰고 내일 새벽에 나머지 것들도 싹 다 올리겠습니다.^^*