위상 connceted 족보 정리 두번째 시간

  안녕하세요. 오늘은 저번 시간에 이어서 4단원 한문제 더하고 5단원에 connected로 넘어 가겠습니다. ㅎㅎ 이것만 쓰고 내일 아침에 조금 일찍 일어나서 다시 공부를 해야 되겠습니다. 정의 위주보다는 제 기말을 위한 정리이기 때문에 좀 두서없이 족보문제만 썼다는 점 양해해주시길 바라며 그럼 지금부터 시작하겠습니다.

  하우스도르프 공간에 있는 수열은 두 점으로 수렴하지 못한다는 것인데요. 하우스도르프 공간의 정의는 두 점을 잡았을 때 그것을 품는 disjoint한 open set이 존재하면 그것을 하우스도르프 공간이라고 말하는데요. 만약에 두 점으로 수렴한다고 쳐 보면 Xn이 disjoint한 두개의 open set에 들어가서 이것이 모순이 됩니다.

  그 다음에는 connected에 대해서 보도록 하죠. 실수집합에서 usual topology를 주면 그것은 connected임을 보이는 건데요. 이것도 disconnected라고 가정을 해 보겠습니다. 그럼 두개의 분할 A,B가 존재해서 그것의 합집합은 R이 되겠죠. disconnected의 정의를 그대로 쓴겁니다. 그럼 A,B는 둘다 open이거나 close겠죠. 그 다음에 A에는 포함이 되고 B에는 포함이 안되는 C를 잡습니다.

  c는 B에 속하지 않는다고 해놓았는데 저 C는 B의 closure풍기고 B는 closed니까 B와 같겠죠. 그래서 모순이 생기게 됩니다.

  그 다음에 유리수집합은 disconnected다라는 것을 보일건데요. 사실 맞습니다. 왜냐하면 density에 의해서 유리수 사이에는 항상 무리수가 존재하고 그것들을 interval로 잡은 것에 R을 뺀 값은 당연히 두 개의 합집합은 전체가 되고 교집합은 공집합이 되므로 맞죠?

  그 다음에 finite complement topology는 connected라는 것을 보일 건데요. disconnected라가정을 한다면 저것은 두개의 합은 R이므로 uncountable이라서 infinite한 set이 되어야 하는데 finite complement topology의 정의에 의해서 저것들은 finite가 되어 버리므로 모순이 됩니다.

  이번엔 interval은 connected라는 사실을 이용해서 증명된 중간값정리에서 더 넘어가서 fixed point property에 대해서 증명을 해 볼건데요. 그림으로 보면 엄청 쉽습니다. 0보다 큰것 잡고 작은 연속함수 잡아서 그 치역의 값이 connected이고 연속이므로 interval이니까 g(c)=0의 값이 존재해야 합니다.

  물론 제가 설명한 것이 틀릴 수도 있습니다. 당장 기말고사를 준비하는 학부생이기 때문이죠. 좀 실수를 하더라도 너그럽게 봐 주셨으면 좋겠습니다. 그럼 오늘은 이만 여기서 마치도록 하겠습니다.^^*