위상수학 기말고사 족보 정리

  안녕하세요..^^* 내일은 위상시험을 치는 날입니다. 물론 기말고사이죠. 공부를 안해서 그런지 다는 모르겠고 하기 싫어서 이렇게 족보라도 정리를 합니다. 그럼 오늘도 한번 족보 정리한 것을 여러분들께 소개를 해야 되겠죠??ㅎㅎ

 

 

  자 첫번째 정리부터 갑니다. 모든 second countable space는 separable이다. 저는 원서로 배워서 한글뜻은 잘 모르니 이해해 주세요. 그럼 second countable이란 것은 공간이 셀 수 있는 basis 즉 기저를 가질때를 의미하고 separable이란 것은 바로 dense subset이 존재한다는 것이죠. 제일 아래쪽에 있는 A클로저가 X가 되는 것 말이에요. 그럼 그럼 countable basis를 가진다고 했으니까 그 중에 하나인 것들을 다 뽑아 옵니다. 그 다음에 정리가 있는데 모든 open set에서 O 교집합 A가 공집합이 안되는 것이 있으면 됩니다. basis에서 하나씩 가져온 원소이므로 이것들 중하나를 선택해서 openset과 intersection을 시키면 바로 non empty가 됩니다. 그래서 증명이 끝이 나는 것이죠.

 

 

  그 다음에는 metric space가 first countable이라는 것을 증명해 보이면 되는데요. 저 거리공간에서 open ball을 저렇게 잡으면 바로 저 a를 품는 극소기저가 반드시 존재해야하고 어떤 a를 품는 open set을 잡아왔을 때 저렇게 a를 품는 basis가 존재하기만 하면 되는데 저것은 두 조건을 다 만족하죠. 그러므로 증명이 끝났습니다.

 

 

 

 

  이제 separable metric space가 second countable임을 보일 건데요. 저 basis가 countable이기 때문에 countable에 대한 증명은 끝났습니다.

 

 

  이제 저것이 기저인 것을 증명 하면 되는데요. separable 이면 dense set이 존재해야 하므로 a는 저 볼에 들어가게 잡을 수 있습니다. 그렇다면 x도 저 ball에 들어가게 되고 근처에 y를 저 ball에 있는 것으로 잡았을 때 y또한 B(x,r)에 들어가게 됩니다. 즉 x는 b(a,1/n)에 들어가고 그것은 B(x,1/n)에 들어가는 것을 알 수 있죠.

 

 

  그 다음에는 finite complement topology는 countable local basis를 가지지 못한다는 것을 증명할 건데요. R-B가 finite이므로 B는 uncountalbe입니다. R또한 셀수없어야 하는데 잘못 적었네요.ㅠㅠ 그리고 Bn은 셀수 없으므로 Bn안에는 a와 다른 원소가 무수히 많을 것입니다. 그래서 a와 다른 원소를 무수히 많이 잡을 수 있는데 그 중에 b를 잡아 보겠습니다. 그럼 저기에서 한 점을 뺀 집합또한 open set이지만 그것은 Bn에 b가 있으므로 Bn을 포함할 수 없습니다. 그러므로 정의에 의해 Ba는 a에서 극소기저가 아닙니다.

 

 

  자 이젠 저 half open interval이 first countable이지만 second countable이 아닌 예를 들어 보겠습니다. 바로 저 line인데요. 1번과 2번은 막족하지만 3번을 본다면 저 안에 있는 interval에서 x와 y와 같다면 Bx와 By가 같겠죠. 그말은 x가 y가 아니면 저 basis들도 다른 거겠죠. 하지만 interval은 uncountable이므로 B는 uncountable이라 countable basis를 갖지 않습니다.

 

  이제 불변량 p를 배워볼 차례인데요. X와 topologically equivalent한 Y 즉 X에서 Y로 가는 homeomorphism 쉽게 말해서 f와 f의 역함수가 전단사인 것이 존재한다면 그 Y가 X가 가지는 불변량을 가지는 것을 의미하는데요..ㅎㅎ

 

 

  자 그럼 그 정의를 써 먹어봐야 되겠죠..^^* 그럼 X와 homeomorphic한 Y를 들고 와서 그것은 전단사니까 f(A)의 closure가 Y 가 되면 separable이므로 그렇게 해주면 되겠죠. 그런데 연속인 함수는 Y에서 open set을 들고 왔을 때 그 역함수가 open이 정의이므로 저렇게 해 주면 깔끔하게 풀리겠죠??

 

  ㅎㅎ 아직 한참 남았습니다. 아마 나머지 것들은 예약 포스팅으로 올려야 될 것 같네요. 그럼 오늘은 여기서 물러나고 계속 다음 것들은 예약포스팅으로 올리도록 하겠습니다.