위상수학 기말고사 족보 마지막 정리

  ㅎㅎ 안녕하하세요..^^* 이제 저는 10시 30이면 시험을 치러 갑니다. 내일 예약포스팅을 해 놓고 하는 것이죠..^^* 그럼 지금부터 알찬 포스팅을 한번 시작해 보도록 하겠습니다.

 

 

ex5.53은 topological sign curve가 path connected가 아님을 보이는 건데요.

 

 

  일단 lemma를 하나 증명해야 합니다. A의 원소와 B의 원소가 connected가 될려면 무조건 그것을 포함하는 집합의 크기가 2보다 커야 된다는 말인데요. 왜냐하면 사인함수가 -1에서 1사이에서 진동하기 때문이죠. 그러므로 만약 2보다 작다면 포함이 안되는 어떤 원소가 있을 것이고 그것을 U와 V인 집합으로 잡았을 때는 disconnected가 되므로 모순이라는 뜻입니다.

 

 

 

 

  그 다음에는 path connected가 아님을 보일 건데요. path connected라고 가정을 해 보겠습니다. 그렇다면 p는 0과 1사이에 있는 집합으로 연속이므로 연속성의 정의에 의해서 그 거리가 e보다 작아야 하지만 lemma에서는 그길이가 2보다 크다 했으므로 모순이 되어서 증명이 끝이 났습니다.

 

 

   Hausdorff공간의 compact subset은 바로 closed라고 보이는 건데요. X-A가 open임을 보이면 되는 것이죠. 저 disjoint한 open set이 2개가 존재하므로 A를 포함하는 open set과 x를 포함하는 open set을 만들어 버리면 v는 A와 disjoint한 open set이고 이것을 그러므로 U는 open set의 finite subcover 그리고 V는 open set 그러니까 그 두개를 뺀 것도 open이므로 X-A는 open이 되어 버립니다. 그래서 A가 closed하다는 것이죠.

 

 

  이번에는 f가 연속이지만 f의 역함수가 연속이 아닌 것을 찾는 것입니다. 위상의 정의에 따라 치역에 있는 closed set 을 하나 잡아 오면 정의역에 있는 것이 closed가 되어야 되는데 되지 않아서 이 정리는 성립하게 되는 것이죠.

 

 

  이번엔 두 공간사이에서 정의되는 함수가 연속이고 X가 compact일때 그 함수는 uniformly 연속임을 보일 건데요.

 

 

  증명을 해 보자면 compact이니까 finite한 subcover로 덮이겠죠. 그래서 저것들의 거리중 최소값을 델타로 잡습니다. 그 다음에 x와 ball에 속하는 또다른 점 x'를 가져 온다면 저 두개는 전부다 ball에 풍기죠. 그래서 저것들을 1/2e로 잡아서 해 주면 됩니다.

 

 

  그 다음에 compact 이면 closed bounded를 보일 건데요. Rn은 하우스도르프 공간이므로 closed라 할 수 있겠습니다. 그리고 finite subcover가 존재하니까 그것에 제일 뒤에 있는 것보다는 작겠죠. 그래서 bounded입니다. 역으로 하면 어떤 J큐브가 존재해서 그것이 compact이므로 J큐브이 들어가는 모든 A는 compact가 되겠죠.

 

 

 

 

 

  휴우 이제야 다 정리를 했네요..^^* 이제 몇번씩 보면서 좀 외워야 되겠습니다. 그럼 오늘은 이만 여기서 물러나도록 할께요. 여러분들도 기말고사 잘 치시길 바랍니다.^^*