여러가지 부등식

  안녕하세요..^^* 오늘은 수업 시간에 배운 여러가지 부등식에 대해서 소개해 드리고자 합니다. 코쉬 부등식과 젠센 부등식 그리고 홀더 부등식인데요. 뒤에 민코스키와 체비세프는 배웠는데 시간 관계상 나중에 하도록 하겠습니다. 그럼 지금부터 시작 해 보도록 하겠습니다.

  코시 부등식입니다. 증명은 간단합니다.  (c1f(x)+c2g(x))^2을 a에서 b가지 적분 한 것을 판별식 D를 써서 0보다 크다는 것만 보여주면 저 식이 나오게 됩니다.

  이번엔 젠센의 부등식을 증명해 볼 차례인데요. 컨벡스니까 두번 미분한것이 0보다 크게 되고 저것을 테일러 2차전개까지 해 봅니다. 그 뒤에 값은 거의 영향을 못미칠 정도로 작기 때문에 2차까지만 주로 전개를 하는 겁니다. 물론 나노 수준의 아주 작은 수준까지는 더 해야 되겠지만요. 저렇게 한다음에 이제 그 값에다가 평균을 씌워주면 쉽게 해결이 되는데요. 평균에 대해서 잘만 알고 계시면 됩니다.

  이제 holder의 부등식을 증명하기 위해서 lemma2개를 쓸건데요. 보조정리라고 하죠. 이번 보조정리는 젠센의 부등식을 쓰고 그 다음에 넣을 값을 -logx만 써 주면 아주 쉽게 끝나느 문제입니다.

  이번에도 보조정리가 있습니다. 증명방법은 저 두개중 어느것이 큰지만 보면 됩니다. 그리고 위에 lemma를 이용하면 끝나는 것이죠.

  이제 우리가 본격적으로 증명할 증명입니다. 보조정리가 어려워서 그렇지 생각보다 증명이 어렵진 않습니다.

  치환 안해도 되는데 치환하는 뻘짓을 한 건 아닌가 싶네요..ㅠㅠ

  몇개 안 적었는데도 엄청 길게 느껴지네요..ㅎㅎ 다음에는 이변수 함수의 극한에 대해서 한번 알아보도록 할께요.. 오늘은 여기서 이만 마치도록 하겠습니다. 제 블로그를 방문해 주셔서 진심으로 감사드립니다.^^*