이변수 함수의 극한 알아보기

  안녕하세요..^^* 고등학교때는 극한을 하나의 변수에 대해서만 배우는데 대학교에 들어오면 변수가 2개인 함수의 극한을 배우게 됩니다. 함수의 극한은 x축의 왼쪽에서 오른쪽으로 두 가지 방향인 일변수가 있지만 이제는 아주 다양한 실제로 무한대인 방향으로 가는 것이죠. 그러니까 수렴을 증명하기 위해서는 e반경의 볼을 잡고 그 볼이 들어가기만 하면 수렴한다는 정의로 하고 있습니다. 문제 풀이에서는 이런 e-d법으로도 풀어보고 path 즉 경로를 정해서 가는 방법으로도 풀어 보도록 하겠습니다.

 

 

 

  가장 간단한 문제부터 풀어 볼께요. d를 저 반경의 볼로 잡으면 저 안에 있는 델타를 입실론반경으로 품기만 하면 됩니다. 델타를 몇 입실론으로 잡으면 저 안에 풍기겠죠? 그러므로 증명이 끝나게 되는 겁니다.

 

 

  이번에는 극좌표계를 이용해서 푸는 것입니다. 이렇게 푸는 것이 더 간단하기 때문이죠. 그리고 밑에 예제는 별개의 것인데 잘못 자른 것 같네요..ㅠㅠ 3번째는 경로를 지정하는 겁니다.

 

 

 

 

  첫번째 경로에서의 극한값과 두번째 경로에서의 극한값이 다르기 때문에 수렴하지 않는 것이죠.

 

 

  이번에 또한 수렴할 것 같았는데 4번째 경로와 같이 이상한 경로에서 달라져 버려서 수렴하지 않네요.. 경로를 정하는 것은 수렴하는 것을 찾는 것이 아니라 수렴하지 않는 것을 찾는 것이죠.

 

 

  이건 고등학교때 함수의 극한 정리와 다를 게 없습니다. 둘다 수렴하면 두개를 나누어도 수렴한다는 간단한 원리로 부터 하는 것인데요.

 

 

  그 다음에 이 함수가 발산할지 수렴할지 알아 보겟습니다.

 

  입실론 델타 논법으로 간단히 해결되었네요..

 

 

  저희는 천재가 아니라 유형을 많이 풀어보고 자동적으로 머리에 집어 넣는 수 밖에 없는 것 같습니다. 뭐 천재적인 것을 창조하는 것이 아니라 이미 300년 전쯤에 해결된 문제를 푸는 것이지요. 그럼 오늘은 여기서 마칠께요..^^*