위상수학 3학년 1학기 중간고사 요점정리2

  저번 시간에 이어서 계속 족보정리를 해 보도록 하겠습니다. 이궁 결국 개념은 하나두 못보고 족보만 보네요. 오늘 10시 30분에 시험인데 공부가 안되서 이짓거리를 하고 있답니다. 여러분들도 열심히 따라오도록 하세요.

 

 

  칸토어의 nested 정리인데요. 여기서 네스티드란 Sn+1이 Sn의 subset 즉 부분집합인 점점 줄어다는 것을 말하는데요. 이렇게 closed set을 무한히 교집합을 해도 공집합이 안된다는 것을 보일겁니다. nested이기 때문에 an은 계속 증가하고 bn은 감소하지만 an의 어떤 원소도 bn보다 클수가 없습니다. 그래서 bounded가 되는 것이죠. 그렇게 되어서 저것을 교집합을 해도 어떤 구간이 나오고 최소로 작은 구간은 한 점이 되겠죠..

 

 

  볼자노 와이어스트라스 정리인데요. 이것은 어떤 bounded infinite set of R은 항상 limit point를 가진다는 거에요. 증명은 어떤 구간을 잡아놓고 A를  품는 closed set을 잡습니다. 그리고 그것을 반으로 쪼개서 무한인 구간을 계속 선택합니다. 왜냐하면 둘중하나는 무한인 구간이 있을 테니까요. 그런데 그과정을 계속하면 결국 p라는 점이 생기게 되죠 그것은 closed set이고 closed이면 그것은 모든 limit포인트를 갖는다는 thm을 쓴다면 여기서 증명은 끝이 납니다.

 

 

 

 

  이번에는 semi open 같이 closed가 아닌 경우에는 칸토어 정리가 성립되는지 보는 건데요. 위 그림과 같이 an=1-1/n bn=1로 잡는다면 저것들을 다 intersection 시킨 것은 1에 가까이 가지만 1은 저 집합에 속하지 않으므로 결국 공집합이 되어 버리는 것이죠.

 

 

  이제 3장으로 넘어와서 metric space의 정의를 알아 보도록 하겠습니다. 어떤 d가 X*X에서 R+로 가는 함수일때 같은 점이면 그 거리가 0이고 x와 y를 바꾸어도 거리가 같으며 x와 z의 거리는 x와 y의 거리의 합과 y와 z의 거리의 합보다 작거나 같다는 것인데요. metric이란 단순히 말해서 저걸 만족하는 거리라고 생각을 하시면 됩니다.

 

 

  Taxicab Metric은 저렇게 xi-yi를 절대값 취한 것을 다 더해주면 되는데요. 저것이 메트릭이라는 것을 보이는 겁니다. 3가지 조건을 쓰면 쉽게 증명하실 수가 있습니다. max metric 또한 metric space입니다. 어렵지 않으니 직접 한번 해 보시면 됩니다.

 

 

  이제 중요한 정리를 하겠습니다. metric space에서는 한점으로 수렴한다는 건데요. 이런 것들은 다른점이 존재한다고 가정하고 모순을 보이거나 다른 점을 들고왔는데 그 점이 같더라라고 보여주시면 됩니다. 일단 수렴의 정의에 의해서 저렇게 썼구요. 그 다음에 모순을 보였습니다. metric에서의 연속파트가 빠져 있네요.

 


  잘 이해가 되셨나요? 아직 topology space는 들어가지도 않았습니다. 저희 학교 족보에 맞춘 것이니 많이 빠진 부분도 있죠. 그것까지 다 공부하려면 너무 멘붕이라. 그냥 슬적한번보고 확실히 외워야 할 것만 외우고 갈 것입니다. 학점에 뜻이 없는 이 불쌍한..ㅠㅠ 어쨋던 오늘은 여기서 이만 줄이겠습니다..^^* 여러분들도 중간고사 파이팅입니다.^^*

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